从动力学角度看优化算法：GAN的第三个阶段
作者丨苏剑林
单位丨追一科技
研究方向丨NLP，神经网络
个人主页丨kexue.fm
在对 GAN 的学习和思考过程中，我发现我不仅学习到了一种有效的生成模型，而且它全面地促进了我对各种模型各方面的理解，比如模型的优化和理解视角、正则项的意义、损失函数与概率分布的联系、概率推断等等。GAN不单单是一个“造假的玩具”，而是具有深刻意义的概率模型和推断方法。
作为事后的总结，我觉得对 GAN 的理解可以粗糙地分为三个阶段：
1. 样本阶段：在这个阶段中，我们了解了 GAN 的“鉴别者-造假者”诠释，懂得从这个原理出发来写出基本的 GAN 公式（如原始 GAN、LSGAN），比如判别器和生成器的 loss，并且完成简单 GAN 的训练；同时，我们知道 GAN 有能力让图片更“真”，利用这个特性可以把 GAN 嵌入到一些综合模型中。
2. 分布阶段：在这个阶段中，我们会从概率分布及其散度的视角来分析 GAN，典型的例子是 WGAN 和 f-GAN，同时能基本理解 GAN 的训练困难问题，比如梯度消失和 mode collapse 等，甚至能基本地了解变分推断，懂得自己写出一些概率散度，继而构造一些新的 GAN 形式。
3. 动力学阶段：在这个阶段中，我们开始结合优化器来分析 GAN 的收敛过程，试图了解 GAN 是否能真的达到理论的均衡点，进而理解 GAN 的 loss 和正则项等因素如何影响的收敛过程，由此可以针对性地提出一些训练策略，引导 GAN 模型到达理论均衡点，从而提高 GAN 的效果。
事实上，不仅仅是 GAN，对于一般的模型理解，也可以大致上分为这三个阶段。当然也许有热衷于几何解释或其他诠释的读者会不同意第二点，觉得没必要非得概率分布的角度来理解。但事实上几何视角和概率视角都有一定的相通之处，而本文所写的三个阶段只是一个粗糙的总结，简单来说就是从局部到整体，然后再到优化器。
而本文主要聚焦于 GAN 的第三个阶段：GAN 的动力学。
基本原理
一般情况下，GAN 可以表示为一个 min-max 过程，记作：
其中 maxDL(G,D) 这一步定义了一个概率散度而 maxG 这一步则在最小化散度，相关的讨论也可以参考文章《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》[1] 和不用L约束又不会梯度消失的GAN，了解一下？。
注意，从理论上讲，这个 min-max 过程是有序的，即需要彻底地、精确地完成 maxD 这一步，然后才去 minG。但是很显然，实际训练 GAN 时我们做不到这一点，我们都是 D,G 交替训练的，理想情况下我们还希望 D,G 每次只各自训练一次，这样训练效率最高，而这样的训练方法对应于一个动力系统。
动力系统
在我们的“从动力学角度看优化算法”系列中，我们将梯度下降看成是在数学求解动力系统（也就是一个常微分方程组，简称 ODEs）。
其中 L(θ) 是模型的 loss，而 θ 是模型的参数。如果考虑随机性，那么则需要加上一个噪声项，变成一个随机微分方程，但本文我们不考虑随机性，这不影响我们对局部收敛性的分析。假定读者已经熟悉了这种转换，下面就来讨论 GAN 对应的过程。
GAN 是一个 min-max 的过程，换句话说，一边是梯度下降，另一边是梯度上升，假设 φ 是判别器的参数，θ 是判别器的参数，那么 GAN 对应的动力系统是：
当然，对于更一般的 GAN，有时候两个 L 会稍微不一样：
不管是哪一种，右端两项都是一正一负，而就是因为这一正一负的差异，导致了 GAN 训练上的困难。我们下面就逐步认识到这一点。
相关工作
将 GAN 的优化过程视为一个（随机）动力系统，基于这个观点进行研究分析的文献已有不少，我读到的包括 The Numerics of GANs [2]、GANs Trained by a Two Time-Scale Update Rule Converge to a Local Nash Equilibrium [3]、Gradient descent GAN optimization is locally stable [4]、Which Training Methods for GANs do actually Converge? [5]，而本文只不过是前辈大牛们的工作的一个学习总结。
在这几篇文献中，大家可能比较熟悉的是第二篇，因为就是第二篇提出了 TTUR 的 GAN 训练策略以及提出了 FID 作为 GAN 的性能指标，而这篇论文的理论基础也是将 GAN 的优化看成前述的随机动力系统，然后引用了随机优化中的一个定理，得出可以给生成器和判别器分别使用不同的学习率（TTUR）。
而其余几篇，都是直接将 GAN 的优化看成确定性的动力系统（ODEs），然后用分析 ODEs 的方法来分析 GAN。由于 ODEs 的理论分析/数值求解都说得上相当成熟，因此可以直接将很多 ODEs 的结论用到 GAN 中。
Dirac GAN
本文的思路和结果主要参考 Which Training Methods for GANs do actually Converge? [5]，这篇论文的主要贡献如下：
1. 提出了 Dirac GAN 的概念，借助它可以快速地对 GAN 的性态有个基本的认识；
2. 完整地分析了带零中心梯度惩罚的 WGAN（也是 WGAN-div）的局部收敛性；
3. 利用零中心梯度惩罚的 WGAN 训练了 1024 的人脸、256 的 LSUN 生成，并且不需要像 PGGAN 那样渐进式训练。
由于实验设备限制，第三点我们难以复现，而第二点涉及到比较复杂的理论分析，我们也不作过多讨论，有兴趣攻克的读者直接读原论文即可。本文主要关心第一点：Dirac GAN。
所谓 Dirac GAN，就是考虑真样本分布只有一个样本点的情况下，待研究的 GAN 模型的表现。假设真实样本点是零向量 0，而假样本为 θ，其实它也代表着生成器的参数；而判别器采用最简单的线性模型，即（加激活函数之前）为 D(x)=x⋅φ，其中 φ 代表着判别器的参数。Dirac GAN 就是考虑这样的一个极简模型下，假样本最终能否收敛到真样本，也就是说 θ 最终能否收敛到 0。
然而，原论文只考虑了样本点的维度是一维的情形，即 0,θ,φ 都是标量，但本文后面的案例表明，对于某些例子，一维 Dirac GAN 不足以揭示它的收敛性态，一般情况下至少需要 2 维 Dirac GAN 才能较好地分析一个 GAN 的渐近收敛性。
常见GAN分析
上一节我们给出了 Dirac GAN 的基本概念，指出它可以帮助我们对 GAN 的收敛性态有个快速的认识。在这部分内容中，我们通过分析若干常见 GAN，来更详细地表明 Dirac GAN 怎么做到这一点。
Vanilla GAN
Vanilla GAN，或者叫做原始 GAN、标准 GAN，它就是指 Goodfellow 最早提出来的 GAN，它有 saturating 和 non-saturating 两种形式。作为例子，我们来分析比较常用的 non-saturating 形式：
这里的 p(x),q(x) 分别是真假样本分布，而 q(z) 是噪声分布，D(x) 用 sigmoid 激活。对应到 Dirac GAN 下，那就简单得多，因为真样本只有一个点而且为 0，所以判别器的 loss 只有一项，而判别器可以完全写出为 θ⋅φ，其中 θ 也就是假样本，或者说生成器，最终结果是：
对应的动力系统是：
这个动力系统的均衡点（让右端直接等于 0）是 φ=θ=0，也就是假样本变成了真样本。但问题是从一个初始点出发，该初始点最终能否收敛到均衡点却是个未知数。
▲ 数值求解的non-saturating的Dirac GAN的优化轨迹（二维情形），可以发现它确实只是在均衡点（红色点）周围振荡，不收敛
为了做出判断，我们假设系统已经跑到了均衡点附近，即 φ≈0,θ≈0，那么可以近似地线性展开：
最终近似地有：
学过常微分方程的同学都知道，这是最简单的线性常微分方程之一，只要初始值不是 0，那么它的解是一个周期解，也就是说并不会出现 θ→0 的特性。换句话说，对于 non-saturating 的 Vanilla GAN，哪怕模型的初始化已经相当接近均衡点了，但是它始终不会收敛到均衡点，而是在均衡点附近振荡。数值模拟的结果则进一步证明了这一点。
事实上，类似的结果出现在任何形式的 f-GAN 中，即以 f 散度为基础的所有 GAN 都存在同样的问题（不计正则项），即它们会慢慢收敛到均衡点附近，最终都只是在均衡点附近振荡，无法完全收敛到均衡点。
这里再重复一下逻辑：我们知道系统的理论均衡点确实是我们想要的，但是从任意一个初值（相当于模型的初始化）出发，经过迭代后最终是否能跑到理论均衡点（相当于理想地完成 GAN 的训练），这无法很显然地得到结果，至少需要在均衡点附近做线性展开，分析它的收敛性，这就是说所谓的局部渐近收敛性态。
WGAN
f-GAN 败下阵来了，那 WGAN 又如何呢？它又能否收敛到理想的均衡点呢？
WGAN 的一般形式是：
对应到 Dirac GAN，D(x)=x⋅φ，而 ‖D‖L≤1 可以由 ‖φ‖=1 来保证（‖⋅‖ 是 l2 模长），换言之，D(x) 加上 L 约束后为 D(x)=x⋅φ/‖φ‖，那么 WGAN 对应的 Dirac GAN 为：
对应的动力系统是：
我们主要关心 θ 是否会趋于 0，可以引入类似前一节的线性展开，但是由于 ‖φ‖ 在分母，所以讨论起来会比较困难。最干脆的方法是直接数值求解这个方程组，结果如下图：
▲ 数值求解的WGAN对应的Dirac GAN的优化轨迹（二维情形），可以发现它确实只是在均衡点（红色点）周围振荡，不收敛
可以看到，结果依然是在均衡点附近振荡，并没能够达到均衡点。这个结果表明了，WGAN（同时自然也包括了谱归一化）都没有局部收敛性，哪怕已经跑到了均衡点附近，依然无法准确地落在均衡点上。
注：稍加分析就能得出，如果只考虑一维的 Dirac GAN，那么将无法分析本节的 WGAN 和后面的 GAN-QP，这就是只考虑一维情形的局限性。
WGAN-GP
大家可能会疑惑，前面不是讨论了WGAN了吗，怎么还要讨论WGAN-GP？
事实上，从优化角度看，前面所说的 WGAN 和 WGAN-GP 是两类不一样的模型。前面的 WGAN 是指事先在判别器上加上 L 约束（比如谱归一化），然后进行对抗学习；这里的 WGAN-GP 指的是判别器不加 L 约束，而是通过梯度惩罚项（Gradient Penalty）来迫使判别器具有 L 约束。
这里讨论的梯度惩罚有两种，第一种是 Improved Training of Wasserstein GANs [6] 提出来的“以1为中心的梯度惩罚”，第二种是 Wasserstein Divergence for GANs [7]、Which Training Methods for GANs do actually Converge? [5] 等文章提倡的“以 0 为中心的梯度惩罚”。下面我们会对比这两种梯度惩罚的不同表现。
梯度惩罚的一般形式是：
其中 c=0 或 c=1，而 r(x) 是 p(x) 和 q(x) 的某个衍生分布，一般直接取真样本分布、假样本分布或者真假样本插值。
对于 Dirac GAN 来说：
也就是说它跟 x 没关系，所以 r(x) 怎么取都不影响结果了。因此，WGAN-GP 版本的 Dirac GAN 形式为：
对应的动力系统是：
下面我们分别观察 c=0,c=1 时 θ 是否会趋于 0，当 c=0 时其实只是一个线性常微分方程组，可以解析求解，但 c=1 时比较复杂，因此简单起见，我们还是直接用数值求解的方式：
▲ 数值求解的WGAN-GP(c=0)对应的Dirac GAN的优化轨迹（二维情形），可以发现它能够渐近收敛到均衡点（红色点）
▲ 数值求解的WGAN-GP(c=1)对应的Dirac GAN的优化轨迹（二维情形），可以发现它确实只是在均衡点（红色点）周围振荡，不收敛
上图是在同样的初始条件（初始化）下，c=0,c=1 的梯度惩罚的不同表现，两图的其他参数都一样。可以看到，加入“以1为中心的梯度惩罚”后，Dirac GAN 并没有渐近收敛到原点，反而只是收敛到一个圆上；而加入“以 0 为中心的梯度惩罚”则可以达到这个目的。这说明早期提出的梯度惩罚项确实是存在一些缺陷的，而“以 0 为中心的梯度惩罚”在收敛性态上更好。
尽管上述仅仅对Dirac GAN做了分析，但结论具有代表性，因为关于0中心的梯度惩罚的优越性的一般证明在 Which Training Methods for GANs do actually Converge? [5] 中已经给出，并得到实验验证。
GAN-QP
最后来分析一下自己提出的 GAN-QP 表现如何。相比 WGAN-GP，GAN-QP 用二次型的差分惩罚项替换了梯度惩罚，并补充了一些证明。相比梯度惩罚，差分惩罚的最主要优势是计算速度更快。
GAN-QP 可以有多种形式，一种基本形式是：
对应的 Dirac GAN 为：
对应的动力系统是：
数值结果如下图（第一个图像）：
▲ 数值求解的GAN-QP对应的Dirac GAN的优化轨迹（二维情形），可以发现它确实只是在均衡点（红色点）周围振荡，不收敛
▲ 数值求解的带有L2正则项的GAN-QP版本的Dirac GAN，其他条件一样，仅加入了L2正则，这表明适当的L2正则项有可能诱导收敛
很遗憾，同大多数 GAN 一样，GAN-QP 也是振荡的。
缓解策略
通过上面的分析，我们得到的结论是：目前零中心的 WGAN-GP（或者称为 WGAN-div）的理论性质最好，只有它是局部收敛的，其余的 GAN 变体都一定的振荡性，无法真正做到渐近收敛。当然，实际情况可能复杂得多，Dirac GAN 的结论只能一定程度上说明问题，带来一个直观感知。
那么，如果 Dirac GAN 的结论具有代表性的话（即多数 GAN 实际情况下都难以真正收敛，而是在均衡点附近振荡），我们应该如何缓解这个问题呢？
L2正则项
第一个方案是考虑往（任意 GAN 的）判别器的权重加入 L2 正则项。综上所述，零中心的梯度惩罚确实很好，但无奈梯度惩罚太慢，如果不愿意加梯度惩罚，那么可以考虑加入 L2 正则项。
直观上看，GAN 在均衡点附近陷入振荡，达到一种动态平衡（周期解，而不是静态解），而 L2 正则项会迫使判别器的权重向零移动，从而有可能打破这种平衡，如上图中的第二个图像。在我自己的 GAN 实验中，往判别器加入一个轻微的 L2 正则项，能使得模型收敛更稳定，效果也有轻微提升。（当然，正则项的权重需要根据模型来调整好。）
权重滑动平均
事实上，缓解这个问题最有力的技巧，当属权重滑动平均（EMA）。
权重滑动平均的基本概念，我们在“让Keras更酷一些！”：中间变量、权重滑动和安全生成器已经介绍过。对于 GAN 上的应用，其实不难理解，因为可以观察到，尽管多数 GAN 最终都是在振荡，但它们振荡中心就是均衡点！所以解决方法很简单，直接将振荡的轨迹上的点平均一下，得到近似的振荡中心，然后就得到了一个更接近均衡点（也就是更高质量）的解！
权重滑动平均带来的提升是非常可观的，如下图比较了有无权重滑动平均时，O-GAN 的生成效果图：
▲ 没有权重滑动平均时的随机生成效果
▲ 权重滑动平均的衰减率为0.999时的随机生成效果
▲ 权重滑动平均的衰减率为0.9999时的随机生成效果
可以看到，权重滑动平均几乎给生成效果带来了质的提升。衰减率越大，所得到的生成结果越平滑，但同时会丧失一些细节；衰减率越小，保留的细节越多，但自然也可能保留了额外的噪声。现在主流的 GAN 都使用了权重滑动平均，衰减率一般为 0.999。
顺便说一下，在普通的监督训练模型中，权重滑动平均一般也能带来收敛速度的提升，比如下图是有/无权重滑动平均时，ResNet20 模型在 cifar10 上的训练曲线，全程采用 Adam 优化器训练，学习率恒为 0.001，权重滑动平均的衰减率为 0.9999：
▲ 有无EMA时Adam默认学习率训练ResNet20的表现
可以看到，加上权重滑动平均之后，模型以一种非常平稳、快速的姿态收敛到 90%+ 的准确率，而不加的话模型准确率一直在 86% 左右振荡。这说明类似 GAN 的振荡现象在深度学习训练时是普遍存在的，通过权重平均可以得到质量更好的模型。
文章小结
本文主要从动力学角度探讨了 GAN 的优化问题。跟本系列的其他文章一样，将优化过程视为常微分方程组的求解，对于 GAN 的优化，这个常微分方程组稍微复杂一些。
分析的过程采用了 Dirac GAN 的思路，利用单点分布的极简情形对 GAN 的收敛过程形成快速认识，得到的结论是大多数 GAN 都无法真正收敛到均衡点，而只是在均衡点附近振荡。而为了缓解这个问题，最有力的方法是权重滑动平均，它对 GAN 和普通模型训练都有一定帮助。
本文作图代码参考：
https://github.com/bojone/gan/blob/master/gan_numeric.py
参考文献
[1] https://kexue.fm/archives/6016
[2] Lars Mescheder and Sebastian Nowozin and Andreas Geiger. "The Numerics of GANs". Advances in Neural Information Processing Systems. 2017.
[3] Martin Heusel, Hubert Ramsauer, Thomas Unterthiner, Bernhard Nessler and Sepp Hochreiter. "GANs Trained by a Two Time-Scale Update Rule Converge to a Local Nash Equilibrium". Advances in Neural Information Processing Systems. 2017.
[4] Vaishnavh Nagarajan, J. Zico Kolter. "Gradient descent GAN optimization is locally stable". Advances in Neural Information Processing Systems. 2017.
[5] Lars Mescheder, Andreas Geiger and Sebastian Nowozin. "Which Training Methods for GANs do actually Converge?". International Conference on Machine Learning 2018.
[6] Ishaan Gulrajani, Faruk Ahmed, Martin Arjovsky, Vincent Dumoulin and Aaron Courville. "Improved Training of Wasserstein GANs". Advances in Neural Information Processing Systems. 2017.
[7] Jiqing Wu, Zhiwu Huang, Janine Thoma, Dinesh Acharya and Luc Van Gool. "Wasserstein Divergence for GANs". The European Conference on Computer Vision (ECCV). 2018.
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